f′(x)=0 не значи автоматично екстремум — трябва проверка на знака
Така е грешно
f(x)=x³. f′(x)=3x², f′(0)=0. Ученик заключава: „x=0 е екстремум (връх на графиката)“.
Така е вярно
За x<0: f′(x)=3x²>0 (положителна). За x>0: f′(x)=3x²>0 (пак положителна) — знакът НЕ се сменя, следователно x=0 НЕ е екстремум, а инфлексна точка с хоризонтална допирателна (функцията расте от двете страни).
Обновено на 22 септември 2026 г.
Защо се допуска
Учениците свързват „производната е нула“ директно с „връх или дъно на графиката“, защото това е най-честият случай — но пропускат, че при нечетни степени (x³, x⁵…) хоризонталната допирателна може да мине и през точка, в която функцията продължава да расте (или намалява) без прекъсване.
Как да я избегнеш
След намиране на f′(x)=0, винаги провери знака на f′ отляво и отдясно на точката (или пресметни f″(x₀) — ако f″(x₀)>0, минимум; ако f″(x₀)<0, максимум; ако f″(x₀)=0, нужна е директна проверка на знака на f′).
Провери се
Кратко упражнение точно по тази грешка.
За f(x)=x³−3x, f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)=0 при x=±1. Коя точка е локален максимум?
Често задавани въпроси
Ако f′(x₀)=0 и f″(x₀)>0, какво следва?+
x₀ е локален минимум — това е тестът с втора производна.
А ако f″(x₀)=0 също?+
Тестът с втора производна не дава отговор — трябва директно да се провери знакът на f′ от двете страни на точката.
Всяка инфлексна точка ли има хоризонтална допирателна?+
Не — инфлексна точка означава само смяна на изпъкналостта; допирателната там не е задължително хоризонтална.
Може ли функция изобщо да няма екстремум?+
Да — монотонни функции като f(x)=x или f(x)=x³ нямат нито един локален екстремум.
Свързани грешки
Забравена смяна на знака при прехвърляне от едната страна на уравнението
Когато решаваш уравнение и местиш член от едната страна на другата, той задължително сменя знака си. Пропускането на тази смяна е причина №1 за грешен отговор на изпита по математика.
Разменени формули за лице и обиколка
Обиколката (периметърът) е дължината на контура; лицето е колко „побира“ фигурата. Различни формули, различни мерни единици.
Пропуснат ред на действията (степен → умножение → събиране)
В израз с няколко действия редът не е отляво надясно — има приоритет.
Събиране на дроби с различни знаменатели без привеждане
Дроби с различни знаменатели не се събират „числител с числител, знаменател със знаменател“.
Пробвай на цял тест
Направи пробния тест по формата на изпита и виж дали грешката вече не те спъва.
Искаш системна подготовка?
Учител ти помага да затвориш пропуските трайно, не само за тази грешка.