Числови редици — задаване и монотонност
Накратко
Числова редица е списък от числа, подредени в определен ред: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Числото aₙ се нарича n-ти член, а n е номерът му (n = 1, 2, 3, …).
Редицата може да се зададе по няколко начина: - с формула за общия член, например aₙ = 2n + 1 — тогава a₁ = 3, a₂ = 5, a₁₀ = 21; - рекурентно — дават се първите членове и правило как следващият се получава от предишните, например a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 (получаваме 1, 3, 7, 15, …); - с описание с думи, например „нечетните числа по ред“.
Монотонност: - редицата е растяща, ако aₙ₊₁ > aₙ за всяко n; - намаляваща, ако aₙ₊₁ < aₙ за всяко n; - монотонна, ако е растяща или намаляваща.
Най-удобният начин за проверка е да пресметнем разликата aₙ₊₁ − aₙ и да видим дали е положителна или отрицателна за всяко n. Не е достатъчно да пробваме няколко члена — те само подсказват отговора, но не го доказват. Тук важи смисълът на квантора „за всяко“: един контрапример е достатъчен, за да покажем, че редицата не е растяща.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Дадена е редицата aₙ = (2n − 1)/(n + 1). Намерете първите три члена и проверете дали редицата е растяща.
Покажи решението
a₁ = 1/2, a₂ = 3/3 = 1, a₃ = 5/4. aₙ₊₁ = (2n + 1)/(n + 2). aₙ₊₁ − aₙ = (2n + 1)/(n + 2) − (2n − 1)/(n + 1) = [(2n + 1)(n + 1) − (2n − 1)(n + 2)] / [(n + 1)(n + 2)]. Числител: (2n² + 3n + 1) − (2n² + 3n − 2) = 3. Значи aₙ₊₁ − aₙ = 3/[(n + 1)(n + 2)] > 0 за всяко n. Отговор: редицата е растяща.
Честа грешка
Сменят n с n + 1 само на едно място във формулата. При aₙ₊₁ замествай n с (n + 1) навсякъде — и в числителя, и в знаменателя.
За повече четене
- Редица (числова редица) — Уикипедия