Ирационални уравнения

Ирационално уравнение е уравнение, в което неизвестното е под корен, например √(x + 7) = x − 5.

Основният метод е да оставим корена сам от едната страна и да повдигнем двете страни на квадрат. Проблемът е, че повдигането на квадрат не е еквивалентно преобразувание: от a = b следва a² = b², но от a² = b² не следва a = b (може a = −b). Затова може да се появят чужди корени — числа, които решават новото уравнение, но не и първоначалното.

Как да ги отсеем: - намираме ДС: изразът под корена ≥ 0; - за уравнение √f(x) = g(x) искаме и g(x) ≥ 0, защото коренът не е отрицателен; - накрая проверяваме всеки намерен корен в първоначалното уравнение.

При два радикала, например √(x + 5) − √x = 1, първо оставяме по един корен от всяка страна: √(x + 5) = 1 + √x, повдигаме на квадрат, опростяваме и повдигаме още веднъж. Получаваме x = 4 и проверката дава √9 − √4 = 1.

Понякога помага полагане: в x + √x − 6 = 0 полагаме t = √x ≥ 0 и решаваме квадратното уравнение t² + t − 6 = 0. От t = 2 и t = −3 остава само t = 2, значи x = 4.