Аритметична прогресия — формули и задачи

Аритметична прогресия е редица, в която всеки член (от втория нататък) се получава от предишния, като прибавим едно и също число d. Числото d се нарича разлика: d = aₙ₊₁ − aₙ.

Пример: 2, 5, 8, 11, … е аритметична прогресия с a₁ = 2 и d = 3. Ако d > 0, прогресията е растяща, ако d < 0 — намаляваща, а при d = 0 всички членове са равни.

Основни формули: - общ член: aₙ = a₁ + (n − 1)d; - сбор на първите n члена: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 или Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d]/2; - характеристично свойство: всеки член е средно аритметично на съседните си, aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.

Последното свойство е удобно, когато три числа трябва да са последователни членове на аритметична прогресия: тогава средното е полусбор на крайните.

Типична задача дава два члена, например a₃ и a₈. Записваме ги чрез a₁ и d и получаваме система от две уравнения. Изваждането им веднага дава d, защото a₈ − a₃ = 5d.

С прогресия моделираме и практически ситуации: равномерно нарастване на заплата, редове седалки в зала, всеки следващ от които има с 2 места повече, и т.н.