Косинусова теорема

Косинусовата теорема е обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник:

a² = b² + c² − 2bc · cos α,

и аналогично b² = a² + c² − 2ac · cos β, c² = a² + b² − 2ab · cos γ.

Ако α = 90°, cos α = 0 и получаваме точно a² = b² + c².

Кога я използваме: - дадени са две страни и ъгълът между тях — намираме третата страна; - дадени са трите страни — намираме ъгъл: cos α = (b² + c² − a²)/(2bc).

Вида на триъгълника може да определим само по страните. Ако a е най-голямата страна, то: - a² < b² + c² — ъгълът α е остър и триъгълникът е остроъгълен; - a² = b² + c² — правоъгълен; - a² > b² + c² — тъпоъгълен.

Косинусовата теорема дава еднозначен отговор за ъгъла (за разлика от синусовата), защото в интервала от 0° до 180° всяка стойност на косинуса отговаря на точно един ъгъл. Затова, когато търсиш ъгъл по три страни, тя е по-сигурният избор.

Внимавай със знака при тъп ъгъл: cos 120° = −1/2, затова −2bc · cos 120° = +bc и третата страна излиза по-голяма.