Формули за медиана и ъглополовяща в триъгълник
Накратко
Медиана е отсечката от връх до средата на срещулежащата страна. Дължината ѝ може да се намери по трите страни:
mₐ² = (2b² + 2c² − a²)/4,
където mₐ е медианата към страната a. Формулата се извежда с косинусовата теорема.
Ъглополовяща е отсечката, която разполовява ъгъла и стига до срещулежащата страна. За ъглополовящата AL (lₐ) от връх A важат: - свойство: BL : LC = AB : AC = c : b — ъглополовящата дели срещулежащата страна в отношението на прилежащите страни; - формула: lₐ² = bc − BL · LC; - или с ъгъла: lₐ = 2bc · cos(α/2)/(b + c).
Обичайният ред при задача с ъглополовяща: - от свойството намираме отсечките BL и LC (BL = ac/(b + c), LC = ab/(b + c)); - после прилагаме lₐ² = bc − BL · LC.
Тези формули са полезни, когато в условието не е дадена височина, а само страни. В НВО след 10. клас и на матурата се срещат задачи, в които медиана или ъглополовяща се търси именно по три страни.
Видео урок
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
В триъгълник ABC BC = a = 7, CA = b = 5, AB = c = 8. Намерете медианата mₐ и ъглополовящата lₐ от връх A.
Покажи решението
Медиана: mₐ² = (2 · 25 + 2 · 64 − 49)/4 = 129/4, mₐ = √129/2. Ъглополовяща AL: BL : LC = 8 : 5, BL + LC = 7, значи BL = 56/13, LC = 35/13. lₐ² = 5 · 8 − (56/13)(35/13) = 40 − 1960/169 = 4800/169, lₐ = √4800/13 = 40√3/13. Проверка: cos α = (25 + 64 − 49)/80 = 1/2, α = 60°; 2 · 40 · cos 30°/13 = 40√3/13 — съвпада. Отговор: mₐ = √129/2, lₐ = 40√3/13.
Честа грешка
Объркват отношението и пишат BL : LC = b : c. Отсечката до B е пропорционална на страната до B — AB = c.
За повече четене
- Медиана (геометрия) — Уикипедия
- Ъглополовяща — Уикипедия