Формули за лице на триъгълник (Херон, sin, R, r)

Освен познатата S = a · hₐ/2, в 10. клас използваме още формули за лице на триъгълник:

• S = ½ · ab · sin γ — две страни и ъгълът между тях;
• Херонова формула: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), където p = (a + b + c)/2 е полупериметърът — когато са дадени трите страни;
• S = abc/(4R) — свързва лицето с радиуса R на описаната окръжност;
• S = p · r — свързва лицето с радиуса r на вписаната окръжност.

Как да избереш формула? Гледай какво е дадено: - три страни — Херон; - две страни и ъгъл между тях — S = ½ab·sin γ; - търси се R или r — първо намираш S по друг начин, после R = abc/(4S) или r = S/p.

Често една задача иска няколко стъпки: например по три страни намираш лицето с Херон, а после височината hₐ = 2S/a или радиусите R и r.

Формулата S = ½ab·sin γ показва и защо при фиксирани страни a и b лицето е най-голямо, когато γ = 90° — тогава sin γ = 1.