Прави и равнини в пространството — ъгли и перпендикулярност
Накратко
Стереометрията изучава фигури в пространството. Равнина се определя еднозначно от три точки, които не лежат на една права, от права и точка извън нея, от две пресичащи се или от две успоредни прави.
Две прави в пространството могат да са: - пресичащи се; - успоредни (в една равнина, без общи точки); - кръстосани — не лежат в една равнина и нямат общи точки. Ъгълът между тях е ъгълът между пресичащи се прави, успоредни на тях.
Права и равнина могат да са: правата лежи в равнината, пресича я в точка или е успоредна на нея. Правата е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината — тогава е перпендикулярна на всяка права от нея.
Ортогонална проекция на точка върху равнина е петата на перпендикуляра от точката към равнината. Ъгъл между права и равнина е ъгълът между правата и проекцията ѝ в равнината.
Две равнини могат да са успоредни или да се пресичат по права (пресечница). Ъгълът между тях се мери с линейния ъгъл на двустенния ъгъл: от точка от пресечницата прекарваме перпендикуляри към нея във всяка равнина.
Най-важното умение: да видиш в пространствената задача правоъгълен триъгълник и да я сведеш до планиметрия.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Даден е куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ръб a. Намерете ъгъла φ между диагонала AC₁ и равнината ABCD.
Покажи решението
C₁C ⟂ (ABCD), значи проекцията на AC₁ върху основата е AC. Търсим ъгъла C₁AC в правоъгълния триъгълник ACC₁ (∠ACC₁ = 90°). AC = a√2 (диагонал на квадрат), CC₁ = a. tg φ = CC₁/AC = a/(a√2) = 1/√2 = √2/2. Отговор: tg φ = √2/2, φ ≈ 35,3°.
Честа грешка
Мерят ъгъла между правата и произволна права от равнината, а не проекцията ѝ. Първо намери петата на перпендикуляра, после свържи.
За повече четене
- Стереометрия — Уикипедия
- Ортогонална проекция — Уикипедия
- Двустенен ъгъл — Уикипедия