Права призма и пирамида — повърхнина и обем
Накратко
Права призма има две еднакви основи в успоредни равнини и околни ръбове, перпендикулярни на основите. Правилна призма е права призма с правилен многоъгълник за основа.
Формули за права призма с периметър на основата P, лице на основата B и височина h (равна на околния ръб): - околна повърхнина: S₁ = P · h; - пълна повърхнина: S = S₁ + 2B; - обем: V = B · h.
Пирамида има основа многоъгълник и връх, свързан с всички върхове на основата. Правилна пирамида има правилен многоъгълник за основа, а петата на височината е центърът на основата. Височината на околна стена в правилна пирамида се нарича апотема k.
Формули за правилна пирамида: - околна повърхнина: S₁ = ½ · P · k; - пълна повърхнина: S = S₁ + B; - обем: V = ⅓ · B · h (за всяка пирамида).
Ключът към задачите са правоъгълните триъгълници вътре в пирамидата. В правилна четириъгълна пирамида с основен ръб a: височината h, апотемата k и половината от основния ръб a/2 образуват правоъгълен триъгълник, т.е. k² = h² + (a/2)². Височината, околният ръб и половината от диагонала на основата образуват друг.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Намерете апотемата, пълната повърхнина и обема.
Покажи решението
k² = h² + (a/2)² = 4² + 3² = 25, k = 5 cm. Околна повърхнина: S₁ = ½ · 24 · 5 = 60 cm² (периметър на основата 4 · 6 = 24). Лице на основата: B = 6² = 36 cm², S = 60 + 36 = 96 cm². Обем: V = ⅓ · 36 · 4 = 48 cm³. Отговор: k = 5 cm, S = 96 cm², V = 48 cm³.
Честа грешка
Пропускат ⅓ в обема на пирамидата или ползват височината вместо апотемата при околната повърхнина. Запиши кой отрязък е кой на чертежа.