Цилиндър, конус, сфера и кълбо — формули
Накратко
Ротационните тела се получават при завъртане на равнинна фигура около ос.
Прав кръгов цилиндър (въртене на правоъгълник около страна) с радиус r и височина h: - околна повърхнина: S₁ = 2πrh; - пълна повърхнина: S = 2πr(r + h); - обем: V = πr²h.
Прав кръгов конус (въртене на правоъгълен триъгълник около катет) с радиус r, височина h и образувателна l, като l² = r² + h²: - околна повърхнина: S₁ = πrl; - пълна повърхнина: S = πr(r + l); - обем: V = ⅓πr²h.
Сфера с радиус R е множеството от точките в пространството на разстояние R от центъра — тоест тя е повърхнина. Кълбото е тялото, оградено от сферата. Затова: - лице на сфера: S = 4πR²; - обем на кълбо: V = (4/3)πR³.
Сечение на кълбо с равнина е кръг. Ако равнината е на разстояние d от центъра, радиусът на сечението е ρ = √(R² − d²). Голяма окръжност се получава при сечение през центъра.
Внимавай с образувателната на конуса: тя е наклонената страна, не височината. Мерните единици: повърхнина в cm², обем в cm³.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Прав кръгов конус има радиус 3 cm и височина 4 cm. Намерете образувателната, пълната повърхнина и обема. Сравнете обема с обема на кълбо с радиус 3 cm.
Покажи решението
l = √(3² + 4²) = 5 cm. S = πr(r + l) = π · 3 · (3 + 5) = 24π cm². V = ⅓ · π · 3² · 4 = 12π cm³. Кълбо с R = 3: V = (4/3) · π · 27 = 36π cm³. Отговор: l = 5 cm, S = 24π cm², V = 12π cm³ — три пъти по-малко от обема на кълбото (36π cm³).
Честа грешка
В S₁ = πrl на конуса заместват височината h вместо образувателната l. Първо намери l от l² = r² + h².