Линейни неравенства с едно неизвестно и числови интервали
Накратко
Неравенство с едно неизвестно е например 2x − 7 ≥ 4x + 3. Решение е всяко число, което го превръща във вярно числово неравенство. За разлика от уравнението, неравенството обикновено има безброй решения — цял интервал от числа.
Линейното неравенство решаваме почти като линейно уравнение — разкриваме скоби, прехвърляме и събираме подобни членове. Има едно важно правило: - при умножение или деление на двете страни с положително число знакът остава същият; - при умножение или деление с отрицателно число знакът се обръща: < става >, ≤ става ≥.
Например от −2x ≥ 10 делим на −2 и получаваме x ≤ −5.
Отговора записваме с числов интервал: - x > 3 → (3; +∞) — числото 3 не е включено, кръгла скоба; - x ≤ −5 → (−∞; −5] — −5 е включено, квадратна скоба; - при безкрайност винаги кръгла скоба.
На числовата ос невключеното число отбелязваме с празно кръгче, а включеното — със запълнено.
Неравенството е строго при < и >, и нестрого при ≤ и ≥. Провери отговора с едно число от интервала и с граничното число.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Реши неравенството 2(x − 1) − 5 ≥ 4x + 3 и запиши решенията с интервал.
Покажи решението
Разкриваме: 2x − 2 − 5 ≥ 4x + 3 → 2x − 7 ≥ 4x + 3. Прехвърляме: 2x − 4x ≥ 3 + 7 → −2x ≥ 10. Делим на −2 и обръщаме знака: x ≤ −5. Отговор: x ∈ (−∞; −5]. Проверка: при x = −5: −17 ≥ −17 (вярно); при x = −6: −19 ≥ −21 (вярно); при x = 0: −7 ≥ 3 (невярно).
Честа грешка
Делят на отрицателно число, без да обърнат знака: от −2x ≥ 10 пишат x ≥ −5. При деление или умножение с отрицателно число знакът винаги се обръща.
За повече четене
- Интервал (математика) — Уикипедия