Неравенства в триъгълника: страни и ъгли, неравенство на триъгълника
Накратко
В триъгълника има две групи важни неравенства.
Неравенства между страни и ъгли. В един триъгълник срещу по-голямата страна лежи по-големият ъгъл. Вярно е и обратното: срещу по-големия ъгъл лежи по-голямата страна. Срещу равни страни лежат равни ъгли (както в равнобедрения триъгълник). Следствия: - в правоъгълен триъгълник хипотенузата е най-голямата страна, защото е срещу правия ъгъл; - в тъпоъгълен триъгълник най-голямата страна е срещу тъпия ъгъл; - перпендикулярът от точка до права е по-къс от всяка наклонена отсечка от същата точка.
Неравенство на триъгълника. Всяка страна на триъгълника е по-малка от сбора на другите две страни и по-голяма от тяхната разлика. Ако страните са a, b и c, то |a − b| < c < a + b. Смисълът е, че правата отсечка между две точки е по-къса от всеки „заобиколен“ път.
Как да провериш дали от три отсечки може да се построи триъгълник: достатъчно е най-голямата да е по-малка от сбора на другите две. Например 3, 4 и 8 не става (3 + 4 = 7 < 8), а 3, 4 и 6 става.
В задачите за намиране на непозната страна записвай двойното неравенство и после избирай стойностите, които отговарят на условието (например цели числа).
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Две от страните на триъгълник са 4 см и 9 см. а) Колко различни цели стойности (в см) може да има третата страна? б) Ако триъгълникът е равнобедрен, каква е обиколката му? в) При страни 4, 9 и 7 см кой е най-големият ъгъл?
Покажи решението
а) За третата страна x: 9 − 4 < x < 9 + 4, т.е. 5 < x < 13. Целите стойности са 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 — общо 7. б) Третата страна трябва да е 4 или 9. Страните 4, 4, 9 не образуват триъгълник (4 + 4 = 8 < 9), затова третата страна е 9 см и обиколката е 4 + 9 + 9 = 22 см. в) Най-голямата страна е 9 см, затова най-големият ъгъл лежи срещу нея.
Честа грешка
Учениците проверяват само една от трите комбинации — например 4 + 9 > x — и пропускат, че x трябва да е и по-голямо от 9 − 4. Най-сигурно е да провериш дали най-голямата страна е по-малка от сбора на другите две.
За повече четене
- Неравенство на триъгълника — Уикипедия