Правоъгълен триъгълник: ъгъл 30° и медиана към хипотенузата
Накратко
В правоъгълния триъгълник страните около правия ъгъл са катети, а страната срещу правия ъгъл е хипотенуза. Хипотенузата е най-дългата страна, а острите ъгли имат сбор 90°.
Свойство на медианата към хипотенузата: в правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата. Ако в △ABC ∠C = 90° и M е средата на AB, то CM = AM = BM = AB : 2. Това значи, че CM разделя триъгълника на два равнобедрени триъгълника — △AMC и △BMC. Вярно е и обратното: ако медианата към една страна е равна на половината от нея, триъгълникът е правоъгълен с прав ъгъл срещу тази страна.
Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°: катетът срещу ъгъла от 30° е равен на половината от хипотенузата. Ако ∠C = 90° и ∠A = 30°, то BC = AB : 2. Обратно, ако един катет е половината от хипотенузата, срещу него лежи ъгъл от 30°. Тогава другият остър ъгъл е 60°.
Двете свойства често се срещат заедно в задачите от НВО: с ъгъл 30° намираш катет, а с медианата към хипотенузата — равни отсечки и равнобедрени (понякога и равностранни) триъгълници.
Внимавай: катетът, който е половината от хипотенузата, е срещу ъгъла от 30°, а не до него.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
В △ABC ∠C = 90°, ∠A = 30° и AB = 16 см. CM е медиана. Намерете BC, CM и обиколката на △MBC.
Покажи решението
Катетът BC е срещу ъгъла от 30°, затова BC = AB : 2 = 8 см. Медианата към хипотенузата е половината от нея: CM = 16 : 2 = 8 см, а и MB = 8 см (M е среда на AB). В △MBC трите страни са по 8 см (освен това ∠B = 90° − 30° = 60°), следователно той е равностранен. Обиколката му е 3 · 8 = 24 см.
Честа грешка
Често за половина от хипотенузата се взема катетът до ъгъла от 30°. Половината е катетът, който лежи срещу ъгъла от 30°.
За повече четене
- Правоъгълен триъгълник — Уикипедия
- Хипотенуза — Уикипедия