Сбор и разлика на кубове: a³ + b³ и a³ − b³
Накратко
Последните две формули за съкратено умножение в 7 клас са за сбор и разлика на кубове: - a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) - a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Вторият множител прилича на квадрат на двучлен, но не е: средният член е само ab, а не 2ab. Такъв тричлен се нарича непълен квадрат.
Как да запомниш знаците: в първата скоба знакът е същият като в условието (a³ + b³ дава a + b). В тричлена средният знак е обратният, а последният винаги е плюс.
Използваме формулите в две посоки: - разлагане: x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9); - умножение: (2a − 1)(4a² + 2a + 1) = (2a)³ − 1³ = 8a³ − 1.
За да ги приложиш, трябва да познаваш кубовете на малките числа: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. Тогава веднага виждаш, че 8x³ = (2x)³ и 125 = 5³.
Внимавай да не объркаш a³ + b³ с (a + b)³ — първото е сбор на два куба, второто е куб на сбор и има четири члена.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Разложи на множители x³ + 27 и пресметни (2a − 1)(4a² + 2a + 1).
Покажи решението
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9). (2a − 1)(4a² + 2a + 1) = (2a − 1)((2a)² + 2a · 1 + 1²) = (2a)³ − 1³ = 8a³ − 1. Проверка при a = 1: 1 · 7 = 7 и 8 − 1 = 7.
Честа грешка
Пишат в тричлена 2ab вместо ab, например x³ + 27 = (x + 3)(x² − 6x + 9). Средният член е само произведението ab, без удвояване.
За повече четене
- Формули за съкратено умножение — Уикипедия