Куб на сбор и куб на разлика: (a ± b)³
Накратко
Кубът на двучлен е (a + b) умножено три пъти по себе си. Формулите са: - (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Как да ги запомниш: - има четири члена; - степента на a намалява 3, 2, 1, 0, а степента на b расте 0, 1, 2, 3; - коефициентите са 1, 3, 3, 1; - при разлика знаците се редуват: +, −, +, −.
Откъде идват? (a + b)³ = (a + b)² · (a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b). Ако умножиш и събереш подобните членове, ще получиш точно формулата — добро упражнение за проверка.
При прилагане внимавай да степенуваш целия член. Ако a = 2x, то a³ = (2x)³ = 8x³, а не 2x³. Ако a = x и b = 2, имаме: - (x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
Проверка с числа: при x = 1 лявата страна е 3³ = 27, а дясната е 1 + 6 + 12 + 8 = 27.
Не бъркай куб на сбор с сбор на кубове: (a + b)³ има четири члена, а a³ + b³ е отделна формула.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Пресметни (x + 2)³ и (2x − 1)³.
Покажи решението
(x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8. (2x − 1)³ = (2x)³ − 3 · (2x)² · 1 + 3 · 2x · 1² − 1³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1. Проверка при x = 1: 3³ = 27 = 1 + 6 + 12 + 8; (2 − 1)³ = 1 = 8 − 12 + 6 − 1.
Честа грешка
Пишат (a + b)³ = a³ + b³. Провери с числа: (1 + 1)³ = 8, а 1³ + 1³ = 2 — липсват средните членове 3a²b и 3ab².
За повече четене
- Формули за съкратено умножение — Уикипедия