Външен ъгъл на триъгълник
Накратко
Ако продължим една страна на триъгълника след върха, се образува ъгъл извън триъгълника. Той е външен ъгъл на триъгълника. Например, продължаваме страната AC след C до точка D; ∠BCD е външен ъгъл при върха C.
Външният ъгъл е съседен на вътрешния ъгъл при същия връх, затова двата имат сбор 180°. При всеки връх може да се построят два външни ъгъла (продължаваме едната или другата страна), но те са връхни и следователно равни.
Основната теорема: външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него. За ∠BCD това означава ∠BCD = ∠A + ∠B. Доказателството е кратко: ∠A + ∠B + ∠ACB = 180° и ∠BCD + ∠ACB = 180°, значи ∠BCD = ∠A + ∠B.
Следствие: външният ъгъл е по-голям от всеки от двата несъседни вътрешни ъгъла. Това се използва по-късно при неравенствата в триъгълника.
Още нещо полезно: ако при всеки връх вземем по един външен ъгъл, сборът на трите външни ъгъла е 360°.
В задачите внимавай кой вътрешен ъгъл е „съседен“ на външния (той е при същия връх) и кои два са „несъседни“ (при другите два върха).
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
В △ABC външният ъгъл при върха C е 124°, а ∠A = 47°. Намерете ∠B и ∠ACB.
Покажи решението
Външният ъгъл при C е равен на сбора на несъседните вътрешни ъгли: ∠A + ∠B = 124°, значи ∠B = 124° − 47° = 77°. Вътрешният ъгъл при C е съседен на външния: ∠ACB = 180° − 124° = 56°. Проверка: 47° + 77° + 56° = 180°.
Честа грешка
Често външният ъгъл се събира със съседния си вътрешен ъгъл вместо с двата несъседни. Съседният ъгъл е при същия връх и с него сборът е 180°, а не външният ъгъл.
За повече четене
- Външен ъгъл — Уикипедия
- Триъгълник — Уикипедия