Геометрична прогресия — формули и задачи
Накратко
Геометрична прогресия е редица от ненулеви числа, в която всеки член (от втория нататък) се получава от предишния, като го умножим по едно и също число q ≠ 0. Числото q се нарича частно: q = bₙ₊₁ : bₙ.
Пример: 3, 6, 12, 24, … е геометрична прогресия с b₁ = 3 и q = 2. При q < 0 знаците се редуват: 1, −2, 4, −8, …
Основни формули: - общ член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹; - сбор на първите n члена: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1 (при q = 1 Sₙ = n · b₁); - характеристично свойство: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ — квадратът на всеки член е равен на произведението на съседните му.
Когато са дадени два члена, например b₂ и b₅, ги делим: b₅ : b₂ = q³. Делението работи тук, както изваждането при аритметичната прогресия.
Комбинираните задачи свързват двата вида прогресии — например три числа образуват аритметична прогресия, а след някаква промяна стават геометрична. Тогава ползваме и двете характеристични свойства.
Геометричната прогресия моделира процеси с еднакво процентно изменение — растеж на бактерии, обезценяване, сложна лихва.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
В геометрична прогресия b₂ = 6 и b₅ = 162. Намерете b₁, q и S₆.
Покажи решението
b₅ : b₂ = q³, т.е. 162 : 6 = 27 = q³, q = 3. b₂ = b₁ · q ⇒ 6 = 3b₁ ⇒ b₁ = 2. S₆ = 2(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 2 · 728/2 = 728. Отговор: b₁ = 2, q = 3, S₆ = 728.
Честа грешка
От q² = 9 записват само q = 3 и губят q = −3. При четна степен провери и отрицателния вариант.
За повече четене
- Геометрична прогресия — Уикипедия