Разлагане на многочлен чрез формулите за съкратено умножение
Накратко
Формулите за съкратено умножение, прочетени отдясно наляво, са инструмент за разлагане: - a² − b² = (a − b)(a + b) - a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)² - a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Как да разпознаеш формулата: - два члена с минус между тях, и двата точни квадрати → разлика на квадрати; - три члена, двата крайни са квадрати → провери дали средният е 2ab; - два члена, и двата точни кубове → сбор или разлика на кубове.
Пример за тричлен: 4x² − 12x + 9. Крайните членове са (2x)² и 3². Проверяваме средния: 2 · 2x · 3 = 12x. Съвпада, значи 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².
Често трябва да комбинираш методите. Първо изнеси общия множител, после виж дали в скобата има формула: - 2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2).
Разлагането е готово, когато никой множител не може да се разложи повече. Сборът на квадрати x² + 4 вече не се разлага.
Видео уроци
Видеата са на техните автори в YouTube — ние ги подбираме и проверяваме дали са актуални.
Пример
Разложи на множители: а) 4x² − 12x + 9; б) 2x³ − 8x.
Покажи решението
а) 4x² = (2x)², 9 = 3², 2 · 2x · 3 = 12x → (2x − 3)². б) 2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2). Проверка при x = 3: а) 36 − 36 + 9 = 9 и (6 − 3)² = 9; б) 54 − 24 = 30 и 6 · 1 · 5 = 30.
Честа грешка
Спират след първата стъпка, например 2x³ − 8x = 2x(x² − 4). Скобата е разлика на квадрати и трябва да се разложи докрай: 2x(x − 2)(x + 2).
За повече четене
- Формули за съкратено умножение — Уикипедия